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Arnone
ISBN: 978-3-527-71061-4
Paperback
347 pages
February 2014
This is an out of stock title.
  • Table of Contents
Über die Autorin 7

Danksagung 7

Einführung 19

Über dieses Buch 19

Konventionen in diesem Buch 20

Törichte Annahme über den Leser 21

Wie dieses Buch aufgebaut ist 21

Teil I: Sich warm machen: Geometrische Grundlagen 21

Teil II: Sich verteidigen: Beweise erbringen 21

Teil III: In Form kommen: Geometrische Figuren 21

Teil IV: Partei ergreifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten 21

Teil V: Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene 22

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 22

Teil VII: Anhang 22

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22

Wie es weitergeht 23

Teil I Sich warm machen:

Geometrische Grundlagen 25

Kapitel 1 Grundsätzliches vorneweg: Geometrische Grundbegriffe 27

Geometrie, das ist ... 27

Begriffe der Geometrie 28

Grundbegriffe – beschreiben statt definieren 29

Nicht mehr ganz so grundsätzlich – Begriffe mit Definitionen 31

Axiome: Vertrauen statt Kontrolle 32

Sätze: Beweise antreten 32

Kapitel 2 Geraden und Winkel, so weit das Auge reicht 33

Geraden unter der Lupe 33

Strecken messen 33

Strecken zeichnen 34

Einen Blick zwischen Endpunkte wagen 34

Bis in den letzten Winkel 36

Die verschiedenen Winkel kennen lernen 38

Winkel messen und zeichnen 39

Winkel und ihre Nachbarn 42

Auch Winkel haben Beziehungen 43

Sätze über Sätze über Winkel 45

Kreuzweise: Geraden bilden Winkel 45

Schiffe in Reih und Glied 47

Schiffe kreuz und quer 48

Teil II Sich verteidigen: Beweise erbringen 53

Kapitel 3 Logik: A und O aller Beweise 55

Aus dem Sherlock-Holmes-Handbuch: Verschiedene Beweisführungen 55

Direkter Beweis: Der Weg durch die Mitte 55

Die Additionsregel 61

Die Subtraktionsregel 62

Die Multiplikationsregel 62

Die Divisionsregel 63

Regeln für Wurzeln und Potenzen 63

Aussagen dürfen – ein paar Regeln 63

Kapitel 4 Beweisverfahren leicht gemacht 65

Die formalen Schritte für Beweise oder: Geometrie-Walzer 65

Das Spiel mit den Beweisen 67

Auf Umwegen: indirekt beweisen 72

Wenn Sie wollen ... dann gibt es eine Aussage 75

Teil III In Form kommen: Geometrische Figuren 79

Kapitel 5 Polygone als Aperitif (Ein Vorgeschmack auf geschlossene Figuren) 81

Polygon? Nie gehört! 81

Polygone und ihre Namen 82

Wie Winkel ins Spiel kommen 83

Polygontypen 84

Das Innenleben eines Polygons 84

Konvex oder konkav – das ist hier die Frage 84

Ab durch die Mitte: Diagonalen 86

Innenleben erforschen: Fläche eines Polygons 90

Kapitel 6 Eck + Eck + Eck = Dreieck 93

Mehr als drei Teile – Dreiecke kennen lernen 93

Seiten und Winkel 93

Das Besondere im Dreieck: Eine Menge Punkte und Linien 95

Grenzen ziehen – innerhalb und außerhalb eines Dreiecks 99

Das Innengebiet 99

Das Außengebiet 100

Zwischendurch für Ordnung sorgen 102

Die Grenzen ausloten – auf der Linie 103

Seitenweise Dreiecke 104

Besonders kreativ: Ungleichseitige Dreiecke 104

Symmetrisch werden: Gleichschenklige Dreiecke 104

Wie aus dem Bilderbuch: Gleichseitige Dreiecke 106

Auf einen Blick 108

Winkelweise Dreiecke 109

Auf die Spitze getrieben: Spitzwinklige Dreiecke 109

Stumpf, aber sicher nicht dumm: Stumpfwinklige Dreiecke 110

Gerecht verteilt: Gleichwinklige Dreiecke 111

Im rechten Licht: Rechtwinklige Dreiecke 112

Auf einen Blick 117

Dreiecksbaustelle 118

Flächenweise Dreiecke 119

Zwillingsforschung: Kongruente Dreiecke 122

Kongruente Null-acht-fünfzehn-Dreiecke 123

Kongruente rechtwinklige Dreiecke 125

Kongruente Dreiecke aus kongruenten Teilen 126

Behaupten kann jeder – Kongruenzen beweisen 126

Kapitel 7 Dreieck + Eck = Viereck 131

Vierecke und ihre Eigenschaften 131

Von außen betrachtet 131

Maß nehmen 132

Parallelogramm-Parade 133

Kreuz und quer: Diagonalen ins Spiel bringen 135

Parallelogramme füllen: Flächeninhalt 137

Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Parallelogramms 138

Rechtecke lieben Ordnung 138

Was ein Rechteck ausmacht 138

Außen herum und innen drin: Umfang und Flächeninhalt 141

Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Rechtecks 141

Rauten sind ungeschliffene Diamanten 142

Je größer, desto besser (gilt vor allem für Diamanten) 146

Kurz und bündig: Die Eigenschaften einer Raute 147

Nicht nur für Kleinkarierte: Quadrate 147

Die Verwendung der Diagonale 149

Umfang und Flächeninhalt von Quadraten 149

Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Quadrats 150

Trapeze und ihre Kunststücke 151

Die Seitenhalbierende 152

Die Diagonale 153

Die Höhe 153

Der Flächeninhalt 154

Drachen (vierecke) steigen lassen 154

Gezielt arbeiten mit Pfeilvierecken 155

Stammbaum der Vierecke 156

Kapitel 8 Kreisweise 159

Das Thema einkreisen 159

Kreise und ihr Verkehrsnetz 160

Reise zumMittelpunkt des Kreises: Radius 160

Geteilt und doch so nah: Sehne 162

Ab durch die Mitte: Durchmesser 162

Zwischenhalt Kreis: Sekante 163

Vorsichtige Annäherung: Tangente 163

Winkel gibt es überall (sogar in Kreisen) 167

Mittelpunkts- und Umfangswinkel 167

Sehnen-Sehnen-Winkel 167

Sehnen-Tangenten-Winkel 169

Sekanten und Tangenten (verschiedentlich kombiniert) 169

Darf ich vorstellen: Pi 170

Bogen ohne Pfeil 172

Größer oder kleiner? Alles berechenbar 173

Auf Winkel zielen – mit Bogens Hilfe 175

Kongruente Bogen bestimmen 177

Die Fläche eines Kreissektors finden 180

Der polygame Kreis: Beziehungen in Hülle und Fülle 181

Für Insider: Inkreis 181

Eingekreist: Umkreis 189

Mitten hinein: Konzentrische Kreise 193

Teil IV Partei ergreifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten 195

Kapitel 9 Das Leben ist ungerecht – Mit Ungleichungen klarkommen 197

Was Ungleichungen sind 197

Déjà-vu-Axiome für Ungleichungen 199

Ungleichungen – ziemliche Spießer 201

Dreiecksungleichungen 207

Kreisungleichungen 210

Kapitel 10 Im richtigen Verhältnis: Ähnlichkeit 219

Verhältnisse haben – mit Zahlen 219

Maß halten 220

Geometrische Verhältnisse 221

Vergleiche zwischen ungleichartigen Größen 222

Kilometer mit Litern vergleichen 222

Kilometer mit Stunden vergleichen 223

Preis pro Einheit 224

Ungleichartige Größen in der Geometrie 224

Gut proportioniert: Verhältnisgleichungen 224

Verhältnisgleichungen und Dreiecke 228

Kleiner Bruder: Ähnliche Polygone 233

Ähnliche Dreiecke 234

Teil V Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene 243

Kapitel 11 Schiff versenkt! (Mit Koordinaten arbeiten) 245

Gitter ist nicht gleich Gitter: Koordinatensystem 245

Es gehören immer zwei dazu (Koordinaten eines Punktes) 247

Quadranten kennen lernen 247

Grafisch werden 248

Entfernung ermitteln 250

Der Mittelpunkt der Welt ... äh: zweier Koordinaten 253

Mit Koordinaten Flächen finden 254

Zu Steigungen aufsteigen 257

Gleichung für eine Gerade (Punktsteigungsform) 261

Gleichung für einen Kreis 264

Kapitel 12 Der geometrische Ort 267

Ort – Örter – Was bedeuten diese Wörter? 267

Geometrische Örter bestimmen 267

Geometrische Örter im Koordinatensystem 270

Wenn sich geometrische Örter schneiden 272

Geometrische Örter beweisen 273

Kapitel 13 Trickreiche Trigonometrie 277

Eine kleine Wiederholung zu rechtwinkligen Dreiecken 277

Rechtwinklige Dreiecke und Ähnlichkeit 278

Rechtwinklige Dreiecke, Verhältnisse und zwei ganz spezielle Winkel 279

Sinnvoller Sinus 280

Sinus in Aktion – ein paar Beispiele 280

Mit trigonometrischen Tabellen arbeiten 281

Mit dem Taschenrechner arbeiten 282

Kosinus kennen lernen 282

Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans 283

Typisch Tangens 283

Tangens in Aktion – ein paar Beispiele 284

Noch ein paar Verhältnisse: Kotangens, Sekans und Kosekans 286

Kapitel 14 Die dritte Dimension oder: Raum schaffen 289

Polyeder – aufgeblasene Polygone 289

Prisma – ein vielseitiges Polyeder 290

Definition eines Prismas 290

Prisma-Typen 290

Fläche eines Prismas 291

Volumen eines Prismas 291

Ein Ausflug zu den Pyramiden 293

Pyramiden-Typen 293

Fläche einer Pyramide 294

Volumen einer Pyramide 295

Zylinder – eine runde Sache 295

Fläche eines Zylinders 295

Volumen eines Zylinders 296

Kegel – Eistüten und Zaubererhüte 296

Fläche eines Kegels 297

Volumen eines Kegels 297

Kugel – besser geht’s nicht 297

Fläche einer Kugel 297

Volumen einer Kugel 298

Teil VI Der Top-Ten-Teil 299

Kapitel 15 Mehr als zehn Karrieren, für die man Geometrie braucht 301

Fluglotse 301

Architekt 301

Schreiner 301

Modedesigner 302

Raumgestalter 302

Baufachleute 302

Maschinenbauingenieur 302

Kapitän 303

Vermessungsingenieur 303

Werkzeugmacher 303

3-D-Grafiker 303

Kapitel 16 Mehr als zehn Tipps, die Ihnen das Geometrie-Leben erleichtern 305

Arbeiten Sie mit einem durchsichtigen Plastik-Geodreieck 305

Verwenden Sie ein durchsichtiges Plastik-Lineal 305

Kaufen Sie sich einen Zirkel 305

Zeichnen Sie mit einem guten dünnen Bleistift 305

Besorgen Sie sich einen wissenschaftlichen Taschenrechner 305

Notieren Sie, was Sie haben und wonach Sie suchen 306

Erstellen Sie eine Skizze 306

Entwickeln Sie eine Strategie 306

Arbeiten Sie die Aussagen eines Beweises durch 306

Assoziieren Sie geometrische Objekte mit alltäglichen Dingen 306

Spielen Sie Poolbillard 307

Teil VII Anhang 309

Anhang A Quadratzahlen, Quadratwurzeln und eine Trigonometrie-Tabelle 311

Anhang B Wichtige Formeln im Überblick 315

Formeln zu Winkelgrößen 315

Winkelgrößen am Kreis 315

Trigonometrische Formeln 316

Formeln für den Flächeninhalt 316

Beziehungen von Linien amKreis 317

Umfang und Bogen 318

Formeln zu rechtwinkligen Dreiecken 319

Formeln im Koordinatensystem 320

Oberflächen von Polyedern 320

Volumen-Formeln 321

Anhang C Axiome, Sätze und was man sonst noch braucht 323

Die Axiome 323

Die Sätze 325

Die Korollare 331

Prinzipien und Regeln 332

Anhang D Glossar 333

Stichwortverzeichnis 339

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